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By Massimo Cacciari

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Allora si pu`o mostrare che qualsiasi algoritmo richiede nel caso peggiore almeno (n log n) confronti. Il risultato di un confronto pu`o essere visto come un zero od un uno; il risultato di tutti i confronti che fa un algoritmo e` una stringa 0-1 (una sequenza di zero e di uno). Si noti che due ordinamenti diversi dei dati di ingresso dell’algoritmo devono dare due stringhe 0-1 diverse (altrimenti l’algoritmo non potrebbe distinguere tra due ordinamenti). Per un ingresso di n elementi ci sono n!

Per grafi semplici identifichiamo di solito e con la sua immagine (e) e scriviamo G = (V (G), E(G)), dove E(G) ⊆ {X ⊆ V (G) : |X| = 2} o E(G) ⊆ V (G) × V (G). Spesso usiamo questa notazione pi`u semplice anche in presenza di archi paralleli, e in tal caso l’“insieme” E(G) pu`o contenere pi`u elementi “identici”. |E(G)| denota il numero di archi, e . per due insiemi di archi E e F abbiamo sempre che |E ∪ F| = |E| + |F| anche se appaiono archi paralleli. Diciamo che un arco e = {v, w} o e = (v, w) unisce v e w.

Quindi per ogni v abbiamo un cammino r -v (si parta da v e si segua sempre un arco entrante sino a quando si raggiunge r ). 3(b). (e) ⇒(f): la minimalit`a in (e) implica δ − (r ) = ∅. 3(b) esiste un cammino r -v per ogni v. Supponiamo che, per qualche v ∈ V (G), esistono due r -v-cammini P e Q, oppure un cammino r -v P e un circuito Q contenente v. Sia e l’ultimo arco di Q che non appartiene a P (cio`e e = (x, y) ∈ E(Q) \ E(P), y ∈ V (P), e P[y,v] e` un sottografo di Q). Allora dopo la rimozione di e, ogni vertice e` ancora raggiungibile da r .

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